2. 資產定價模型與風險衡量

# 2. 資產定價模型與風險衡量 > **學習目標** > - 理解 CAPM、APT 與 Fama‑French 三因子模型的核心假設與數學推導。 > - 熟悉風險度量指標（Beta、標準差、波動率、Sharpe、Sortino 等）以及它們在投資決策中的應用。 > - 能以 Python / R 進行模型估計、風險度量計算與結果解讀。 ## 2.1 資產定價模型概覽 | 模型 | 核心假設 | 主要參數 | 代表性公式 | |------|----------|----------|------------| | **CAPM** | 市場有效性、無風險利率、均衡條件 | β (beta)、r_f、E[R_m] | \(E[R_i] = r_f + β_i\big(E[R_m]-r_f\big)\) | | **APT** | 多因子、無套利 | λ_k、F_k | \(E[R_i] = r_f + \sum_{k=1}^{K}λ_k\beta_{ik}\) | | **Fama‑French 三因子** | CAPM + 市場風險 + 風格因子 | β, SMB, HML | \(E[R_i] = r_f + β_i\big(E[R_m]-r_f\big) + s_i\,SMB + h_i\,HML\) | > **觀察**：CAPM 只考慮市場風險，APT 和 Fama‑French 進一步引入多個風險因子，能捕捉風格偏好與公司規模差異。 ## 2.2 CAPM：市場風險溢酬 ### 2.2.1 理論推導 CAPM（Capital Asset Pricing Model）由 Sharpe、Lintner、Black 於 1960 年代獨立提出，核心觀點是：投資者在同一風險偏好下，只會關注市場風險。 - **無風險利率** (r_f)：常以 10 年期美國國債利率或國債收益率為 proxy。 - **市場風險溢酬** (E[R_m]−r_f)：市場組合的期望報酬扣除無風險利率。 - **Beta** (β_i)：衡量資產報酬相對市場波動的敏感度。 > **公式**：\(E[R_i] = r_f + β_i\big(E[R_m]-r_f\big)\) ### 2.2.2 Beta 計算範例 python import pandas as pd import yfinance as yf import statsmodels.api as sm # 下載資料 assets = yf.download(['AAPL', '^GSPC'], start='2018-01-01', end='2023-12-31', interval='1mo')['Adj Close'] # 月度報酬率 ret = assets.pct_change().dropna() # 市場 Beta：AAPL vs S&P 500 X = sm.add_constant(ret['^GSPC']) model = sm.OLS(ret['AAPL'], X).fit() print('Beta:', model.params['^GSPC']) print('Intercept:', model.params['const']) > **實務提示**：Beta 的估計窗口可調整（1 年、3 年、5 年），較長窗口更穩定但反映較舊資訊。 ## 2.3 APT：多因子擴展 ### 2.3.1 基本思想 APT（Arbitrage Pricing Theory）不假設市場組合，而是以 **多個宏觀或行業因子** 為基礎，捕捉投資組合的多元風險來源。 - **因子暴露** (β_{ik})：資產對因子的敏感度。 - **因子風險溢酬** (λ_k)：各因子的市場風險溢酬。 > **公式**：\(E[R_i] = r_f + \sum_{k=1}^{K}λ_k\beta_{ik}\) ### 2.3.2 常見因子 | 因子 | 名稱 | 代表性數據 | |------|------|------------| | 1 | CPI Inflation | CPI 年增率 | | 2 | GDP Growth | GDP 季度增速 | | 3 | Interest Rate | 短期利率變化 | | 4 | Commodity Price | 原物料價格波動 | > **實務案例**：在 2022 年能源危機期間，HML（高價值/低價值）因子暴露顯著，APT 模型能更好說明能源股的高報酬。 ## 2.4 Fama‑French 三因子模型 ### 2.4.1 模型構造 Fama 與 French 在 1993 年提出，將市場風險擴展至兩個風格因子： - **SMB**（Small Minus Big）：公司規模因子，衡量小市值公司相對於大市值公司的表現。 - **HML**（High Minus Low）：價值因子，衡量高帳面價值比低帳面價值比的表現。 > **公式**：\(E[R_i] = r_f + β_i(MPR) + s_iSMB + h_iHML\) ### 2.4.2 Python 回歸範例 python import pandas as pd import yfinance as yf import statsmodels.api as sm # 下載因子資料（示例使用 FamaFrench.csv） ff = pd.read_csv('FamaFrench.csv', index_col=0, parse_dates=True) # 下載個股報酬 stock = yf.download('MSFT', start='2018-01-01', end='2023-12-31')['Adj Close'] ret = stock.pct_change().dropna() # 對齊時間 data = ret.join(ff[['MPR', 'SMB', 'HML']]).dropna() X = sm.add_constant(data[['MPR', 'SMB', 'HML']]) Y = data['MSFT'] model = sm.OLS(Y, X).fit() print(model.summary()) > **結果解讀**：如果 s_i 為正，則小公司風險溢酬正向；如果 h_i 為負，則價值股風險溢酬負向，可能代表市場過熱。 ## 2.5 風險衡量指標 | 指標 | 定義 | 公式 | 主要應用 | |------|------|------|----------| | **標準差** | 報酬率波動幅度 | \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{t}(R_t-\bar{R})^2}\) | 量化整體波動性 | | **波動率** | 年化標準差 | \(σ_{annual} = σ_{monthly}\sqrt{12}\) | 風險比較 | | **夏普比率** | 風險調整後報酬 | \(\frac{\bar{R}-r_f}{σ}\) | 投資績效評估 | | **Sortino比率** | 僅考慮下行風險 | \(\frac{\bar{R}-r_f}{σ_{down}}\) | 下行風險偏好者 | | **Beta** | 市場敏感度 | 如 CAPM | 風險分散策略 | | **Value at Risk (VaR)** | 置信水平下最大損失 | 參考 | 法規合規 | | **Conditional VaR (CVaR)** | 超過 VaR 的平均損失 | 參考 | 風險管理 | > **實務小技巧**：波動率與夏普比率常用於同一投資組合的比較；若兩者同時高，代表風險調整後的報酬較佳。 ## 2.6 案例：美國股市三因子回歸 | 產業 | Beta | SMB | HML | 觀察 | |------|------|-----|-----|------| | IT | 1.10 | -0.15 | -0.25 | 高市場風險、低價值風險 | | 能源 | 0.85 | 0.10 | 0.30 | 中等市場風險、偏高價值風險 | | 金融 | 1.20 | -0.05 | -0.10 | 高市場風險、低價值風險 | > **解讀**：能源行業的 HML 正值表明其偏向價值型，與市場波動性較低的特徵相符；IT 行業則呈現小型公司偏好，但價值因子負值，說明其更趨向增長型。 ## 2.7 實務建議 1. **模型選擇**：若投資標的集中於單一市場，CAPM 仍可作為基線；若涵蓋多元市場或產業，建議使用 Fama‑French 或 APT。 2. **回歸窗口**：5 年窗口能捕捉趨勢，但對短期波動不敏感；1 年窗口能捕捉近期市場變化，但估計不穩定。 3. **因子選取**：除了 Fama‑French 三因子，還可加入 Momentum、Quality、Profitability 等因子，提升模型解釋度。 4. **風險控制**：使用 VaR、CVaR 進行情境分析，確保資產配置符合風險承受度。 5. **數據品質**：因子資料來源可參考 Kenneth French 的資料庫，報酬資料可透過 Yahoo Finance、Quandl 等平台。 ## 2.8 小結 本章闡述了三大資產定價模型（CAPM、APT、Fama‑French 三因子）及其風險度量指標。透過實務範例與程式碼，讀者可快速掌握模型估計流程，並能將其應用於投資組合設計與風險管理。接下來的章節將進一步探討如何將這些模型結合數據科學技術，打造更為靈活且可量化的投資策略。